第 060 题 / 82

【第三期 · 原第6题】
已知函数 $f(x) = \ln x + \frac{1}{2}x^2 + ax + 1(a \in \mathbf{R})$ 的导函数为 $f'(x)$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2) 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上的一个零点，设 $m \in [1,x_0) \cup (x_0,2]$，函数 $g(x) = f'(x)(m - x_0) - f(m)$，求证：$g(m)g(x_0) < 0$；

(3) 设 $x_1, x_2(x_1 < x_2)$ 是函数 $f(x)$ 的两个极值点，且 $f(1) \ge -\frac{11}{6}$.

(i) 求 $a$ 的取值范围；

(ii) 求 $f(x_1) - f(x_2)$ 的取值范围.