第 062 题 / 82

【第三期 · 原第8题】
已知 $b\ne0$，函数 $f(x) = ax + bx^2 + \frac{1}{2}\cos x$，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，曲线 $y = f'(x)$ 关于点 $(\pi, 0)$ 对称.

(1) 求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2) $\forall x \in \mathbf{R},\;f'(x) \leq -\frac{1}{\pi}x + \frac{3}{2}$ 恒成立.

(i) 求 $b$ 的值并探究 $f'(x)$ 的零点个数;

(ii) 若 $f(m) = f(n)$，且 $m < \frac{\pi}{2} < n$，证明：$\pi < m + n \leq 2\pi$.