第 066 题 / 82

【第三期 · 原第12题】
已知函数 $f(x) = nx - x^n, x \in \mathbf{R}$，其中 $n \in \mathbf{N}^*, n \geq 2$。

(I) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(II) 设曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g(x)$，求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f(x) \leq g(x)$；

(III) 若关于 $x$ 的方程 $f(x) = a$（$a$ 为实数）有两个正实根 $x_1, x_2$，求证：$|x_2 - x_1| < \dfrac{a}{1 - n} + 2$。