第 067 题 / 82

【第三期 · 原第13题】
已知函数 $f(x) = (x^2 - kx + 1) \ln x$ 在区间 $(0,1)$ 和 $(1, +\infty)$ 各恰有一个零点，分别记为 $x_1$ 和 $x_2$。

(1) 求实数 $k$ 的取值范围；

(2) 记曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_1,0)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 $S$，求 $\dfrac{S}{x_2 - x_1}$ 的最大值；

(3) 若函数 $g(x) = f(x) - a$ 有三个零点 $t_1,t_0,t_2$，其中 $t_1 < t_0 < t_2$，证明：$t_2 - t_1 \le x_2 - x_1$。