第 068 题 / 82

【第三期 · 原第14题】
已知函数 $f(x) = m\left(x - \dfrac{1}{x}\right) - \ln x, m \in \mathbf{R}$ .

(1)若 $f(x)$ 在定义域上单调递增,求 $m$ 的取值范围;

(2)若 $y = f(x)$ 有两个极值点 $a, b$ ,证明: $f(a) + f(b) + f(a + b) < \dfrac{3}{4} - \ln 2$ ;

(3)若 $m = 0$ ,关于 $x$ 的方程 $|xf(x)| = n$ 在 $\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}, +\infty\right)$ 上有两个不同的实数根 $x_{1},x_{2}(x_{1} > x_{2})$ ,证明: $\dfrac{x_{1} - x_{2}}{n} < \mathrm{e}$ .