第 070 题 / 82

【第三期 · 原第16题】
设函数 $f(x) = \ln x - a(x - 1)\mathrm{e}^{x}$，其中 $a \in \mathbf{R}$．

(I) 若 $a \leq 0$，讨论 $f(x)$ 的单调性；

(II) 若 $0 < a < \dfrac{1}{\mathrm{e}}$，

(i) 证明 $f(x)$ 恰有两个零点；

(ii) 设 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_{1}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$，证明 $3x_{0} - x_{1} > 2$．