第 071 题 / 82

【第三期 · 原第17题】
设 $a, b$ 为实数，且 $a > 1$，函数 $f(x) = a^x - bx + e^2 (x \in \mathbf{R})$

(1)求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若对任意 $b > 2e^2$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)当 $a = e$ 时，证明：对任意 $b > e^4$，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1, x_2 (x_2 > x_1)$，满足 $x_2 > \frac{b\ln b}{2e^2}x_1 + \frac{e^2}{b}$。

(注：$e = 2.71828\cdots$ 是自然对数的底数)