【第三期 · 原第20题】已知函数 f(x)=x3+klnx(k∈R)f(x) = x^3 + k\ln x (k \in \mathbf{R})f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)f'(x)f′(x) 为 f(x)f(x)f(x) 的导函数. (I) 当 k=6k = 6k=6 时, (i) 求曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1))(1,f(1)) 处的切线方程; (ii) 求函数 g(x)=f(x)−f′(x)+9xg(x) = f(x) - f'(x) + \frac{9}{x}g(x)=f(x)−f′(x)+x9 的单调区间和极值; (II) 当 k≥−3k \geq -3k≥−3 时,求证: 对任意的 x1,x2∈[1,+∞)x_1, x_2 \in [1, +\infty)x1,x2∈[1,+∞)，且 x1>x2x_1 > x_2x1>x2，有 f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2\frac{f'(x_1) + f'(x_2)}{2} > \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}2f′(x1)+f′(x2)>x1−x2f(x1)−f(x2).