第 077 题 / 82

【第三期 · 原第23题】
已知函数 $f(x) = ax - (\ln x)^2$

(1) $a = 1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；

(2) $f(x)$ 有 3 个零点 $x_1, x_2, x_3$ 且 $x_1 < x_2 < x_3$。

(i) 求 $a$ 的取值范围；

(ii) 证明 $(\ln x_2 - \ln x_1) \cdot \ln x_3 < \dfrac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}$。