第 078 题 / 82

【第三期 · 原第24题】
已知函数 $f(x) = a(x + 1)\ln x - x + 1$ .

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x - 3y + 1 = 0$ 垂直，求实数 $a$ 的值；

(2) 若函数 $f(x)$ 有三个零点 $x_1, x_2, x_3$，且 $x_1 < x_2 < x_3$ .

(i) 求实数 $a$ 的取值范围；

(ii) 求证：$(3a - 1)(x_1 + x_3 + 2) < 2$ .