第 079 题 / 82

【第三期 · 原第25题】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $\Gamma_{1} : y = a^{x}(a > 1)$ 与 $\Gamma_{2} : xy = m(m > 0)$ 交于点 $A$ .

(1) 当 $a = \mathrm{e}$ 时，求曲线 $\Gamma_{1}$ 在 $(0,1)$ 的切线方程；

(2) 若直线 $OA$ 与 $\Gamma_{1}$ 相切于点 $A$，求 $a^{m}$ 的值；

(3) 若直线 $OA$ 与 $\Gamma_{1}$ 交于另一点 $B$，且 $|OB| \geq 2|OA|$，求 $a^{m}$ 的取值范围.