第 080 题 / 82

【第三期 · 原第26题】
已知曲线 $\Gamma : {x}^{2} + {y}^{2} = 4\left( {y > 0}\right)$ ,函数 $f\left( x\right) = {a}^{x} - 1$ ,其中 $a > 1$ .

(1)试求曲线 $\Gamma$ 与函数 $f\left( x\right)$ 的交点个数;

(2)设曲线 $\Gamma$ 与函数 $f\left( x\right)$ 的交点为 $T\left( {m, n}\right)$ ,作 $\Gamma$ 在点 $T$ 处的切线,交 $y$ 轴于点 $K$ .

(i) 证明: $\left| {TK}\right| < {\log }_{a}{\mathrm{e}}^{2}$ ;

(ii) 若 $f\left( x\right)$ 在点 $C\left( {{x}_{1}, f\left( {x}_{1}\right) }\right)$ 处的切线与 ${TK}$ 垂直,试探究点 $M\left( {f\left( {x}_{1}\right) , m}\right)$ 与椭圆 $\frac{{y}^{2}}{4} + {x}^{2} = 1$ 的位置关系.