第 004 题 / 16

英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式: 当 $f\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处的 $n\left( {n \in {\mathbf{N}}^{ * }}\right)$ 阶导数都存在时,
$f\left( x\right) = f\left( 0\right) + {f}^{\prime }\left( 0\right) x + \frac{{f}^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2!}{x}^{2} + \frac{{f}^{\left( 3\right) }\left( 0\right) }{3!}{x}^{3} + \cdots + \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}{x}^{n} + \cdots$ . 注: ${f}^{\prime \prime }\left( x\right)$ 表示 $f\left( x\right)$ 的 2 阶导数,即为 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的导数, ${f}^{\left( n\right) }\left( x\right) \left( {n \geq 3}\right)$ 表示 $f\left( x\right)$ 的 $n$ 阶导数,该公式也称麦克劳林公式.
（1）根据该公式估算 $\sin \frac{1}{2}$ 的值,精确到小数点后两位;
(2) 由该公式可得： $\cos x = 1 - \frac{{x}^{2}}{2!} + \frac{{x}^{4}}{4!} - \frac{{x}^{6}}{6!} + \cdots$ . 当 $x \geq 0$ 时,试比较 $\cos x$ 与 $1 - \frac{{x}^{2}}{2}$ 的大小,并给出证明 (不使用泰勒公式);
(3) 设 $n \in {\mathbf{N}}^{ * }$ ,证明: $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{\left( {n + k}\right) \tan \frac{1}{n + k}} > n - \frac{1}{{4n} + 2}$ .