第 011 题 / 16

已知函数 $f\left( x\right) = {ax} - \ln \left( {x + a}\right) \left( {a \in \mathbf{R}}\right)$ .
（1）当 $a = 2$ 时，求 $f\left( x\right)$ 的单调区间；
（2）若 $f\left( x\right) \geq a - \frac{1}{a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）若数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足 ${a}_{1} = 1$ ， ${a}_{n + 1} = \frac{{n}^{2}}{{n}^{2}{a}_{n} + 1}$ ，记 ${S}_{n}$ 为数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 证明： ${S}_{2n} > {2n} - 1$ .