第 012 题 / 16

已知函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - {ax} - a,a \in \mathbf{R}$ .
（1）讨论 $f\left( x\right)$ 的单调区间；
（2）当 $a = 1$ 时，令 $g\left( x\right) = \frac{{2f}\left( x\right) }{{x}^{2}}$ .
①证明：当 $x > 0$ 时， $g\left( x\right) > 1$ ；
②若数列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \left( {n \in {\mathbf{N}}^{ * }}\right)$ 满足 ${x}_{1} = \frac{1}{3},{\mathrm{e}}^{{x}_{n + 1}} = g\left( {x}_{n}\right)$ ，证明： ${2}^{n}\left( {{\mathrm{e}}^{{x}_{n}} - 1}\right) < 1$ .