第 074 题 / 100

(2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国II卷带解析) 已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足 ${a}_{1} = 1,{a}_{n + 1} = 3{a}_{n} + 1$ .
(1) 证明 $\left\{ {{a}_{n} + \frac{1}{2}}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的通项公式；
(2)证明: $\frac{1}{{a}_{1}} + \frac{1}{{a}_{2}} + \ldots + \frac{1}{{a}_{n}} < \frac{3}{2}$ .