第 076 题 / 100

(2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版) 已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的首项为 1, ${S}_{n}$ 为数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, ${S}_{n + 1} = q{S}_{n} + 1$ ,其中 $\mathrm{q} > 0,n \in {\mathbf{N}}^{ * }$ .
(1) 若 $2{a}_{2},{a}_{3},{a}_{2} + 2$ 成等差数列,求数列 $\left\{ {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式;
(2) 设双曲线 ${x}^{2} - \frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}} = 1$ 的离心率为 ${e}_{n}$ ,且 ${e}_{2} = \frac{5}{3}$ ,证明: ${e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{n} > \frac{{4}^{n} - {3}^{n}}{{3}^{n - 1}}$ .