第 077 题 / 100

已知双曲线 $C : {x}^{2} - {y}^{2} = m\left( {m > 0}\right)$ ，点 ${P}_{1}\left( {5,4}\right)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $0 < k < 1$ . 按照如下方式依次构造点 ${P}_{n}\left( {n = 2,3,\ldots }\right)$ : 过 ${P}_{n - 1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 ${Q}_{n - 1}$ ,令 ${P}_{n}$ 为 ${Q}_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点, 记 ${P}_{n}$ 的坐标为 $\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right)$ .
(1) 若 $k = \frac{1}{2}$ ,求 ${x}_{2},{y}_{2}$ ;
(2) 证明：数列 $\left\{ {{x}_{n} - {y}_{n}}\right\}$ 是公比为 $\frac{1 + k}{1 - k}$ 的等比数列；
(3) 设 ${S}_{n}$ 为 $\bigtriangleup {P}_{n}{P}_{n + 1}{P}_{n + 2}$ 的面积，证明：对任意正整数 $n$ ， ${S}_{n} = {S}_{n + 1}$ .