第 079 题 / 100

已知 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 $d$ ，对任意的 $n \in N * ,{\mathrm{\;b}}_{n}$ 是 ${a}_{n}$ 和 ${a}_{n + 1}$ 的等比中项.
(1) 设 ${c}_{n} = {b}_{n + 1}^{2} - {b}_{n}^{2},n \in {\mathrm{N}}^{ * }$ ,求证: $\left\{ {c}_{n}\right\}$ 是等差数列;
(2) 设 ${a}_{1} = d,{T}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{2n}}{\left( -1\right) }^{k}{b}_{k}{}^{2},n \in {N}^{ * }$ ,求证: $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{{T}_{k}} < \frac{1}{2{d}^{2}}$ .