第 080 题 / 100

设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是等差数列， $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 是等比数列. 已知 ${a}_{1} = 4,{b}_{1} = 6,{b}_{2} = 2{a}_{2} - 2,{b}_{3} = 2{a}_{3} + 4$ .
(1) 求 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 设数列 $\left\{ {c}_{n}\right\}$ 满足 ${c}_{1} = 1,{c}_{n} = \left\{ \begin{array}{l} 1,\;{2}^{k} < n < {2}^{k + 1}, \\ {b}_{k},n = {2}^{k}, \end{array}\right.$ 其中 $k \in {\mathbf{N}}^{ * }$ .
(i) 求数列 $\left\{ {{a}_{{2}^{n}}\left( {{c}_{{2}^{n}} - 1}\right) }\right\}$ 的通项公式;
(ii) 求 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{{2}^{i}}{c}_{{2}^{i}}\;\left( {n \in {\mathbf{N}}^{ * }}\right)$ .