第 081 题 / 100

设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是等比数列,公比大于 0,其前 $\mathrm{n}$ 项和为 ${S}_{n}\left( {n \in {N}^{ * }}\right) ,\;\left\{ {b}_{n}\right\}$ 是等差数列. 已知 ${a}_{1} = 1,{a}_{3} = {a}_{2} + 2,{a}_{4} = {b}_{3} + {b}_{5},{a}_{5} = {b}_{4} + 2{b}_{6}$ .
(1) 求 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 设数列 $\left\{ {S}_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 ${T}_{n}\left( {n \in {N}^{ * }}\right)$ ,
(i) 求 ${T}_{n}$ ;
(ii) 证明 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\left( {{T}_{k} + {b}_{k + 2}}\right) {b}_{k}}{\left( {k + 1}\right) \left( {k + 2}\right) } = \frac{{2}^{n + 2}}{n + 2} - 2\left( {n \in {N}^{ * }}\right)$ .