第 096 题 / 100

已知数列 $\left\{ a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ , $S_{n} = n^{2}\left( n \in \mathbf{N}^{ * }\right)$ ,数列 $\left\{ b_{n}\right\}$ 为等比数列,且 $a_{2} + 1,a_{4} + 1$ 分别为数列 $\left\{ b_{n}\right\}$ 第二项和第三项.
（1）求数列 $\left\{ a_{n}\right\}$ 与数列 $\left\{ b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $c_{n} = a_{n}b_{n} + \left( -1\right)^{n} \cdot \frac{3 \cdot 2^{n} - 2}{\left( b_{n} - 1\right) \left( b_{n + 1} - 1\right) }$ ，求数列 $\left\{ c_{n}\right\}$ 的前 $2n$ 项和 $T_{2n}$ ；
（3）求证： $\sum_{i = 1}^{n}\frac{b_{i}}{\left( b_{i} - 1\right)^{2}} < 3$ .