第 098 题 / 100

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 满足 ${a}_{1} = 1$ ,且对任意正整数 $m,n$ 都有 ${a}_{m + n} = {a}_{n} + {a}_{m} + {2mn}.$
（1）求数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{ {{\left( -1\right) }^{n}{a}_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S}_{n}$ ，若存在正整数 $k$ ，使得 $2{S}_{k} + {S}_{k + 1} = 0$ ，求 $k$ 的值；
(3) 设 ${b}_{n} = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{1}{{a}_{n}} + \frac{1}{{a}_{n + 1}}}\right) ,{T}_{n}$ 是数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和,求证: ${T}_{n} < \frac{n}{n + 1}$ .