第 039 题 / 80

已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b$ ， $c$ ,面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}\left( {{a}^{2} + {c}^{2} - {b}^{2}}\right)$ ,则下列说法正确的是 ( )
A. $\cos A\cos C$ 的取值范围是 $\left( {-\frac{1}{2},\frac{1}{4}}\right\rbrack$
B. 若 $D$ 为边 ${AC}$ 的中点,且 ${BD} = 1$ ,则 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. 若 $\bigtriangleup {ABC}$ 是锐角三角形，则 $\frac{a}{c}$ 的取值范围是 $\left( {\frac{1}{2},2}\right)$
D. 若角 $B$ 的平分线 ${BE}$ 与边 ${AC}$ 相交于点 $E$ ,且 ${BE} = \sqrt{3}$ ,则 $a + {4c}$ 的最小值为 10