已知向量 a→,b→,∣a→∣=1,∣b→∣=2\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\left| \overrightarrow{a}\right| = 1,\left| \overrightarrow{b}\right| = 2a,b,a=1,b=2 ，若对任意单位向量 e→\overrightarrow{e}e ，均有 ∣a→⋅e→∣+∣b→⋅e→∣≤6\left| {\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e}}\right| + \left| {\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e}}\right| \leq \sqrt{6}a⋅e+b⋅e≤6 ，则 a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}a⋅b 的最大值是___.