第 011 题 / 90

用两个平行平面去截球体, 把球体夹在两截面之间的部分称为球台. 根据祖暅原理 (“幂势既同，则积不容异”),推导出球台的体积 ${V}_{\text{ 球台 }} = \frac{1}{6}{\pi h}\left( {3{r}_{1}^{2} + 3{r}_{2}^{2} + {h}^{2}}\right)$ ,其中 ${r}_{1},{r}_{2}$ 分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径, $h$ 是两个平行平面之间的距离. 已知圆台 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的上、下底面的圆周都在球 $O$ 的球面上,圆台 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的母线与底面所成的角为 ${45}^{ \circ }$ ,若圆台 ${O}_{1}{O}_{2}$ 上、下底面截球 $O$ 所得的球台的体积比圆台 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的体积大 ${9\pi }$ ，则球 $O$ 的表面积 ${S}_{1}$ 与圆台 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的侧面积 ${S}_{2}$ 的比值 $\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$ 的取值范围为___.