第 056 题 / 90

如图, 已知正三棱台 ${ABC} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的上、下底面边长分别为 2 和 6，侧棱长为 4，点 $P$ 在侧面 ${BC}{C}_{1}{B}_{1}$ 内运动（包含边界），且 ${AP}$ 与平面 ${BC}{C}_{1}{B}_{1}$ 所成角的正切值为 $2\sqrt{2}$ ，点 $Q$ 为 $C{C}_{1}$ 上一点，且 $\overrightarrow{CQ} = 3\overrightarrow{Q{C}_{1}}$ ，则下列结论中正确的有（ ）

A. 正三棱台 ${ABC} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的高为 $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
B. 点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{3}\pi$
C. 高为 $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ ,底面圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的圆柱可以放在棱台内
D. 过点 $A,B,Q$ 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 $\frac{3\pi }{2}$