第 072 题 / 90

如图,已知三棱柱 ${ABC} - {{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$ 的底面是正三角形,侧面 $B{B}_{1}{C}_{1}C$ 是矩形, $M,N$ 分别为 ${BC},{B}_{1}{C}_{1}$ 的中点, $P$ 为 ${AM}$ 上一点,过 ${B}_{1}{C}_{1}$ 和 $P$ 的平面交 ${AB}$ 于 $E$ ,交 ${AC}$ 于 $F$ .

(1) 证明： $A{A}_{1}//{MN}$ ，且平面 ${A}_{1}{AMN} \bot E{B}_{1}{C}_{1}F$ ；
(2) 设 $O$ 为 $\bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的中心，若 ${AO}//$ 平面 $E{B}_{1}{C}_{1}F$ ，且 ${AO} = {AB}$ ，求直线 ${B}_{1}E$ 与平面 ${A}_{1}{AMN}$ 所成角的正弦值.