第 083 题 / 90

如图，在四棱锥 $P$ - ${ABCD}$ 中，四边形 ${ABCD}$ 为直角梯形, ${AD}//{BC},\angle {BAD} = {90}^{ \circ }$ ,且 ${AB} = {BC} = 1,{AD} = 2,{PA} = {PD},M$ 为 ${AD}$ 的中点,平面 ${PAD} \bot$ 平面 ${ABCD}$ , 直线 ${PB}$ 与平面 ${ABCD}$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1) 求四棱锥 $P$ - ${ABCD}$ 的体积;
(2) 在棱 ${CD}$ 上（不含端点）是否存在一点 $Q$ ，使得二面角 $C - {AP} - Q$ 的余弦值为 $\frac{5\sqrt{33}}{33}$ ？若存在，请确定点 $Q$ 的位置； 若不存在, 请说明理由.