第 005 题 / 40

某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产, 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%; 若将这两批零件混合放在一起, 则合格品率为 97%.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取 3 个，用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望;
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标. 已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率, 大于在甲工厂不提高质量指标的条件下, 该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率. 设事件 $A =$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件 $B =$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 $0 < P(B) < 1$ ,证明: $P(A \mid B) > P(A \mid \bar{B})$ .