概率与数理统计解答题 · 第 006 题

来源 · 福建省福建师范大学附属中学 2021 届高三模拟考试数学试题

已知某高校共有 10000 名学生，其图书馆阅览室共有 994 个座位, 假设学生是否去自习是相互独立的, 且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为 0.1 .
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为 $X$ ，求 $X$ 的期望和方差；
（2）18 世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，当 $n$ 比较大时，二项分布可视为正态分布. 此外，如果随机变量 $Y \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ ，令 $Z = \frac{Y - \mu }{\sigma }$ ,则 $Z \sim N\left( {0,1}\right)$ . 当 $Z \sim N\left( {0,1}\right)$ 时,对于任意实数 $a$ ,记 $\Phi \left( a\right) = P\left( {Z < a}\right)$ . 已知下表为标准正态分布表 (节选),该表用于查询标准正态分布 $N\left( {0,1}\right)$ 对应的概率值. 例如当 $a = {0.16}$ 时,由于 ${0.16} = {0.1} + {0.06}$ ,则先在表的最左列找到数字 0.1 (位于第三行), 然后在表的最上行找到数字 0.06 (位于第八列), 则表中位于第三行第八列的数字 0.5636 便是 $\Phi \left( {0.16}\right)$ 的值.

$a$	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6404	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224

①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于 0.7 ，则至少需要添加多少个座位？

第 006 题 / 40

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