第 010 题 / 40

一次摸奖活动, 选手在连续摸奖时, 首次中奖得 1 分, 并规定: 若连续中奖, 则第一次中奖得 1 分, 下一次中奖的得分是上一次得分的两倍: 若某次未中奖, 则该次得 0 分,且下一次中奖得 1 分.已知某同学连续摸奖 $n$ 次,总得分为 $X$ ,每次中奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ,且每次摸奖相互独立.
(1)当 $n = 5$ 时，求 $X = 3$ 的概率；
（2）当 $n = 3$ 时，求 $X$ 的概率分布列和数学期望；
(3)当 $n = {30}$ 时,判断 $X$ 的数学期望与 10 的大小,并说明理由.