第 013 题 / 40

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ ,且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f\left( p\right)$ ，求 $f\left( p\right)$ 的最大值点 ${p}_{0}$ ；
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 ${p}_{0}$ 作为 $p$ 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元, 若有不合格品进入用户手中, 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ,求 ${EX}$ ;
(ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有产品作检验?