第 015 题 / 40

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生物为第 0 代, 经过一次繁殖后为第 1 代, 再经过一次繁殖后为第 2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数, $P\left( {X = i}\right) = {p}_{i}\left( {i = 0,1,2,3}\right)$ . 其中 $0<p_i<1$（$i=0,1,2,3$），且 $p_0+p_1+p_2+p_3=1$。
（1）已知 ${p}_{0} = {0.4},{p}_{1} = {0.3},{p}_{2} = {0.2},{p}_{3} = {0.1}$ ，求 $E\left( X\right)$ ；
（2）设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后最终灭绝的概率， $p$ 是关于 $x$ 的方程： ${p}_{0} + {p}_{1}x + {p}_{2}{x}^{2} + {p}_{3}{x}^{3} = x$ 的一个最小正实根,求证: 当 $E\left( X\right) \leq 1$ 时, $p = 1$ ,当 $E\left( X\right) > 1$ 时, $p < 1$ ;
（3）根据你的理解说明（2）间结论的实际含义.