第 021 题 / 40

某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有 $n$ 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 $\frac{1}{2}$ ,被感染的白鼠数用随机变量 $X$ 表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若 $P\left( {X = 5}\right) = P\left( {X = {95}}\right)$ ,求数学期望 $E\left( X\right)$ ;
（ 2 ）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 $p$ ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 $p$ 与参数 $\theta \left( {0 < \theta < 1}\right)$ 的取值有关. 团队 $A$ 提出函数模型为 $p = \ln \left( {1 + \theta }\right) - \frac{2}{3}{\theta }^{2}$ ,团队 $B$ 提出函数模型为 $p = \frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\theta }}\right)$ . 现将 100 只接种疫苗后的白鼠分成 10 组,每组 10 只,进行实验,随机变量 ${X}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,{10}}\right)$ 表示第 $\mathrm{i}$ 组被感染的白鼠数,将随机变量 ${X}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,{10}}\right)$ 的实验结果 ${x}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,{10}}\right)$ 绘制成频数分布图,如图所示.

(i) 试写出事件“ ${X}_{1} = {x}_{1},{X}_{2} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{10} = {x}_{10}$ ”发生的概率表达式 (用 $p$ 表示,组合数不必计算);
(ii) 在统计学中,若参数 $\theta = {\theta }_{0}$ 时使得概率 $P\left( {{X}_{1} = {x}_{1},{X}_{2} = {x}_{2},\cdots ,{X}_{10} = {x}_{10}}\right)$ 最大,称 ${\theta }_{0}$ 是 $\theta$ 的最大似然估计. 根据这一原理和团队 $A,B$ 提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出 $\theta$ 的最大似然估计,并求出最大似然估计. 参考数据: $\ln \frac{3}{2} \approx {0.4055}$