第 022 题 / 40

在概率统计中, 常常用频率估计概率. 已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球 $n$ 次,红球出现 $m$ 次. 假设每次摸出红球的概率为 $p$ ,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\widehat{p} = \frac{m}{n}$ .
（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3, 不知道哪种颜色的球多. 有放回地随机摸取 3 个球, 设摸出的球为红球的次数为 $Y$ ,则 $Y \sim B\left( {3,p}\right)$ .
注: ${P}_{p}\left( {Y = k}\right)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时,摸出红球次数为 $k$ 的概率
（i）完成下表;

(ii) 在统计理论中,把使得 ${P}_{p}\left( {Y = k}\right)$ 的取值达到最大时的 $p$ ,作为 $p$ 的估计值,记为 $\widehat{p}$ ,请写出 $\widehat{p}$ 的值.
（2）把（1）中“使得 ${P}_{p}\left( {Y = k}\right)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\widehat{p}$ ”的思想称为最大似然原理. 基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤: 先对参数 $\theta$ 构建对数似然函数 $l\left( \theta \right)$ ,再对其关于参数 $\theta$ 求导,得到似然方程 ${l}^{\prime }\left( \theta \right) = 0$ ,最后求解参数 $\theta$ 的估计值. 已知 $Y \sim B\left( {n,p}\right)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为 $l\left( p\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i}\ln p + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {1 - {X}_{i}}\right) \ln \left( {1 - p}\right)$ ,其中 ${X}_{i} = \left\{ \begin{array}{l} 0,\text{ 第 }i\text{ 次摸出白球 } \\ 1,\text{ 第 }i\text{ 次摸出红球 } \end{array}\right.$ . 求参数 $p$ 的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.