第 023 题 / 40

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分，甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ .
（1）求 $X$ 的分布列;
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， ${p}_{i}\left( {i = 0,1,\cdots ,8}\right)$ 表示“甲药的累计得分为 $\mathrm{i}$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 ${p}_{0} = 0,{p}_{8} = 1,{p}_{i} = a{p}_{i - 1} + b{p}_{i} + c{p}_{i + 1}\left( {i = 1,2,\cdots ,7}\right)$ ,其中 $a = P\left( {X = - 1}\right) ,b = P\left( {X = 0}\right) ,c = P\left( {X = 1}\right)$ . 假设 $\alpha = {0.5},\beta = {0.8}$ .
(i)证明: $\left\{ {{p}_{i + 1} - {p}_{i}}\right| \left. {i = 0,1,2,\cdots ,7}\right\}$ 为等比数列;
(ii) 求 ${p}_{4}$ ,并根据 ${p}_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性.