第 025 题 / 40

甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复 $n$ 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{n}}$ ,恰有 2 个黑球的概率为 ${\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}$ ,恰有 1 个黑球的概率为 ${\mathrm{q}}_{\mathrm{n}}$ .
（1）求 ${p}_{1}$ ， ${q}_{1}$ 和 ${p}_{2}$ ， ${q}_{2}$ ；
（2）求 $2{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}} + {\mathrm{q}}_{\mathrm{n}}$ 与 $2{\mathrm{p}}_{\mathrm{n} - 1} + {\mathrm{q}}_{\mathrm{n} - 1}$ 的递推关系式和 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{n}}$ 的数学期望 $E\left( {\mathrm{X}}_{\mathrm{n}}\right)$ （用 $n$ 表示）.