第 027 题 / 40

如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物， 已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 $\frac{1}{2}$ ,最后落入 $\mathrm{A}$ 袋或 $B$ 袋中. 一次游戏中小球落入 $\mathrm{A}$ 袋记 1 分,落入 $B$ 袋记 2 分,游戏可以重复进行. 游戏过程中累计得 $n$ 分的概率为 ${P}_{n}$ .

(1) 求 ${P}_{1},{P}_{2},{P_3}$ .
（2）写出 ${P}_{n}$ 与 ${P}_{n - 1}$ 之间的递推关系,并求出 ${P}_{n}$ 的通项公式.