第 028 题 / 40

随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理, 助力推广校园文明餐桌行动, 培养广大师生文明餐桌新理念, 以“小餐桌”带动“大文明”, 同时践行绿色发展理念. 郴州市某中学食堂每天都会提供 $A,B$ 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ . 而前一天选择了 $A$ 套餐的学生第二天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ; 前一天选择 $B$ 套餐的学生第二天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ,选择 $B$ 套餐的概率也是 $\frac{1}{2}$ ,如此往复. 记同学甲第 $n$ 天选择 $B$ 套餐的概率为 ${P}_{n}$ .
（1）求同学甲第二天选择 $B$ 套餐的概率；
（2）证明：数列 $\left\{ {{P}_{n} - \frac{3}{5}}\right\}$ 为等比数列；
（3）从该校所有学生中随机抽取 100 名学生统计第二天选择 A 类套餐的人数 X，用 P(X = k ) 表示这 100 名学生中恰有 k 名学生选择 $A$ 类套餐的概率,求 $P\left( {X = k}\right)$ 取最大值时对应的 $k$ 的值.