第 031 题 / 40

将保护区分为面积大小相近的多个区域， 用简单随机抽样的方法抽取其中 15 个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某种水源指标 ${x}_{i}$ 和区域内该植物分布的数量 ${y}_{i}\left( {i = 1,2,\ldots ,{15}}\right)$ ,得到数组 $\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right)$ . 已知 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{15}}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2} = {45},\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{15}}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2} = {8000},\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{15}}\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) \left( {y}_{i} - \bar{y}\right) = {480}$ .
（ 1 ）求样本 $\left( {{x}_{i},{y}_{i}}\right)$ （ $i = 1,2\ldots ,{15}$ ）的相关系数；
（ 2 ）假设该植物的寿命为随机变量 $X$ （ $X$ 可取任意正整数 . 研究人员统计大量数据后发现：对于任意的 $k \in {\mathbf{N}}^{ * }$ ，寿命为 $k + 1$ 的样本在寿命超过 $k$ 的样本里的数量占比与寿命为 1 的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于 0.1 ,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
(i) 求 $P\left( {X = k}\right) \left( {k \in {\mathbf{N}}^{ * }}\right)$ 的表达式;
(ii) 推导该植物寿命期望 $E\left( X\right)$ 的值.
附：相关系数 $r = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) \left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }{\sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {y}_{i} - \bar{y}\right) }^{2}}}$ .