第 032 题 / 40

已知常数 $p \in \left( {0,1}\right)$ ,在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中,记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数, $X$ 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布.
（1）对于正整数 $k$ ，求 $P\left( {X = k}\right)$ ，并根据 $E\left( X\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{kP}\left( {X = k}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{kP}\left( {X = k}\right) }\right)$ ，求 $E\left( X\right)$ ；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望。 为 ${E}_{2}$ ,现提供一种求 ${E}_{2}$ 的方式: 先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 ${E}_{2}$ ，即总的试验次数为 $\left( {{E}_{2} + 1}\right)$ ;若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为 2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为 $\left( {{E}_{2} + 2}\right)$ .
(i) 求 ${E}_{2}$ ;
(ii) 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 ${E}_{n}$ ,求 ${E}_{n}$ .