第 039 题 / 40

现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将 1000 只动物平均分成 100 组, 任选一组进行试验. 第一轮注射, 对该组的每只动物都注射一次, 若检验出该组中有 9 只或 10 只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验. 如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗. 设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响， 且产生抗体的概率均为 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ .
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含 $p$ 的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数 $X$ 的数学期望为 $E\left( X\right)$ ，求证： ${{10} < E\left( X\right) < {10}}\left( {2 - p}\right)$ .