第 058 题 / 73

设 $F$ 为双曲线 $E : \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0,b > 0}\right)$ 的右焦点, $A,B$ 分别为双曲线 $E$ 的左右顶点,点 $P$ 为双曲线 $E$ 上异于 $A,B$ 的动点,直线 $l : x = t$ 使得过 $F$ 作直线 ${AP}$ 的垂线交直线 $l$ 于点 $Q$ 时总有 $B,P,Q$ 三点共线，则 $\frac{t}{a}$ 的最大值为___.