第 064 题 / 73

画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆. 已知椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ${F}_{1}$ 、 ${F}_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $\mathrm{A}$ 在椭圆上，直线 $l : {bx} + {ay} - {a}^{2} - {b}^{2} = 0$ ,则 ( )
A. 直线 $l$ 与蒙日圆相切
B. $C$ 的蒙日圆的方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} = 2{a}^{2}$
C. 记点 $\mathrm{A}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ,则 $d - \left| {A{F}_{2}}\right|$ 的最小值为 $\frac{\left( {4\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}\right) b}{3}$
D. 若矩形 ${MNGH}$ 的四条边均与 $C$ 相切,则矩形 ${MNGH}$ 的面积的最大值为 $8{b}^{2}$