第 002 题 / 121

【第一期 · 原第2题】
在平面直角坐标系 $xOy$ 中,椭圆 $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,焦距为 2 .

(I) 求椭圆 $E$ 的方程;

(II) 如图,动直线 $l : y = k_{1}x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点, $C$ 是椭圆 $E$ 上一点, 直线 $OC$ 的斜率为 $k_{2}$ ,且 $k_{1}k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ , $M$ 是线段 $OC$ 延长线上一点,且 $|MC| : |AB| = 2 : 3, \odot M$ 的半径为 $|MC| ,OS,OT$ 是 $\odot M$ 的两条切线,切点分别为 $S, T$ . 求 $\angle SOT$ 的最大值,并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率.