第 008 题 / 121

【第一期 · 原第8题】
已知双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > 0,b > 0\right)$ 的右顶点 $E(1,0)$，它的一条渐近线的倾斜角为 $120^{\circ}$。

(1)过点 $(-2,0)$ 作直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $M,N$ 两点(不与点 $E$ 重合)，求证: $EM\perp EN$；

(2)若过双曲线 $C$ 上一点 $P$ 作直线与两条渐近线相交，交点为 $A,B$，且分别在第一象限和第四象限，若 $AP=\lambda PB,\lambda \in\left[\frac{1}{3},2\right]$，求 $\bigtriangleup AOB$ 面积的取值范围。