第 009 题 / 121

【第一期 · 原第9题】
已知点 $A(-2,0), B(2,0)$，动点 $M(x, y)$ 满足直线 $AM$ 与 $BM$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$。记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$。

(1) 求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线；

(2) 过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限，$PE \bot x$ 轴，垂足为 $E$，连结 $QE$ 并延长交 $C$ 于点 $G$。

(i) 证明：$\triangle PQG$ 是直角三角形；

(ii) 求 $\triangle PQG$ 面积的最大值。