第 010 题 / 121

【第一期 · 原第10题】
已知双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1\left( a > 0\right)$ 的实轴长为 2,经过点 $H\left( -1,1\right)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点,且 $M, N$ 两点均不与 $C$ 的左顶点 $P$ 重合.

(1)求 $C$ 的方程.

(2)证明:直线 $PM$ 与 $PN$ 的斜率之和为定值.

(3)若在射线 $PN$ 上的点 $T$ 满足 $\angle PMN = \angle PTM$ ，求直线 $MT$ 的斜率的最大值.