第 013 题 / 121

【第一期 · 原第13题】
已知双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的实轴长为 4，且经过点 $P\left( 3,\frac{5}{2}\right)$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)记 $C$ 的右顶点为 $A$ ，点 $R$ 在线段 $AP$ (不含端点)上运动，垂直于 $x$ 轴的直线 $RM$ 交 $C$ 于点 $M\left( x_1,y_1\right)$ ( $M$ 在第一象限)，点 $\mathrm{S}$ 满足 $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{RS}$ ，仅考虑直线 $AS$ 不平行于双曲线渐近线且与 $C$ 有另一个交点的情形，记该交点为 $N\left( x_2,y_2\right)$ .

(i) 用 $x_1,y_1$ 表示直线 $AS$ 的斜率 $k_0$ ；

(ii) 证明直线 $MN$ 过定点.